数理方法对经济学框架的分析

摘 要：经过几百年发展，经济学分析方法从多元化向单一的数理方法发展。数理方法在经济学研究中的应用越来越广泛。本文以线性产品市场和货币市场模型为例，分别从静态、比较静态和动态3个方面阐述了数理经济分析的思路。

关键词：数理经济学；静态分析；比较静态分析；动态分析

中图分类号：F235.3 文献标识码：A

数学的发展促进了经济学的进步，经济学的发展也增加了对数学工具的需求，推动数学学科的发展。而数理经济学则是数学与经济学的结合，更确切地说，它是一种利用数学语言描述经济问题，运用已知数学定理进行推理的一种方法。下面以产品市场和货币市场模型为例进行分析。

一、经济系统方程及其解的形式

在非时间参数的经济模型中，假设经济系统方程为：

函数F：Rn×RpX×Ω→Rm，a是m维向量，为系统的外生变量。x是n维向量，为系统的内生变量。

（1） 式也可表示为：

F1（x1，...，xn；a1，...，am）=0F2（x1，...，xn；a1，...，am）=0......Fn（x1，...，xn；a1，...，am）=0（2）

由（1）式可得其解为：S :Ω→X，其中S（a）={x∈X；F（x；a）=0}，它是指将每个参数向量映射到系统变量的均衡值的一个集合。

当系统变量x有显函数解时，其解为：

x1=f1（a1，...，an）x2=f2（a1，...，an） ......xn=fn（a1，...，an）（3）

二、经济学的数理分析框架与思路

根据分析的侧重点不同，经济学分析方法可分为静态分析、比较静态分析与动态分析。

（一）静态分析

它是指在既定条件下，某一经济事物在经济变量的相互作用下所达到的均衡状态。即给定a，求模型的解集合，通过求解得到（3）式。下面以线性形式的产品市场和货币市场为例分析。

考虑三部门经济的市场模型，其包括3个变量：利率（r1）， 利率（r2），产出（y），由市场一般均衡条件，可得以下模型：

r1=r2均衡条件（4）r1=-y 产品市场中IS曲线代数表达式 （5）r2=- 货币市场中LM曲线代数表达式 （6）

其中，a，β，d，e，m，t，k，h是系统参数，且均大于0。

求出均衡解:

（7）式表明：在给定系统参数（a ， β ，d ， e ， m ， t ， k ， h）时系统变量（y ，r）的唯一均衡解为（y*，r*）。 如图1，是静态分析过程。给定系统参数后，在r-y空间得到IS和LM曲线，并求出均衡解E1。

（二）比较静态分析

然而，静态分析忽略了导致均衡状态的各变量调整和再调整的实际过程。对由外生变化所导致的均衡状态的转移分析，是属于比较静态分析的范围。比较静态分析是指当原有条件或外生变量发生变化时，原来的均衡状态会发生的变化，并分析比较新旧均衡状态，在均衡解存在且稳定的前提下，侧重分析随着参数a的改变，均衡解S（a）变化的轨迹。它主要分为显函数形式与隐函数形式分析。

1．比较静态的显函数形式分析

我们先假设只变动一个系统参数，其余保持不变，然后逐次求偏导数xi/ai ，xi/ai的符号表示变量的均衡解对外来冲击的反映方向，它的大小表示其反映速度。现仍以线性形式的一般均衡产品和货币市场模型为例进行阐述，（7）中均衡收入的解S （a）含有8个参数a ， β ，d ， e ， m ， t ， k ， h，可分别解出y*关于这几个参数的偏导，并利用已知参数判断其符号。例如：变动参数m ， 解出y*关于m的偏导数y*/m=d/ kd+[1-β（1-t）]>0，此式表明，（a）中m的变动对经济系统变量均衡解的影响是：均衡产出y*对外来冲击m的反应方向为正，反应速度为y*/m=d/ kd+[1-β（1-t）]， 同理，可均衡利率r*的进行比较静态分析。

2.比较静态的隐函数形式分析

然而，在现实经济问题中，往往求不出系统变量的显函数形式，只能得到方程组（2），却得不到方程组（3）。 这时可运用隐函数定理、全微分等方法，进行隐函数形式的比较静态分析。仍以线性形式的一般均衡产品和货币市场模型为例来说明。当不知相关函数的表达式时，设模型为：

r1=r2r1=R1（y，k0） 且 R1/y<0r2=R2（y，k0） 且 R2/y>0

假设函数R1和R2连续且光滑，其中，r1，r2为系统变量，k0是系统参数。令r=r1=r2，化简后，模型表示为：

F1（r，y，k0）=R1（y，k0） -r=0

F2（r，y，k0）=R2（y） -r=0

由已知条件可得：F1，F2具有连续偏导数且系统变量的雅可比行列式|J|不为零。

因为只有均衡解存在，比较静态分析才有意义，所以假设均衡解存在，由隐函数定理得：

r*=r*（k0），y*=y*（k0） （8）

对（8）求全微分，得dr*/dk0>0 ，dy*/dk0>0。

由此可得：均衡利率对外来冲击（k0）的反应方向为正，反应速度为dr*/dk0。同理，均衡产出对外来冲击（k0）的反应方向为正，反应速度为dy*/dk0。图2描述的是比较静态分析过程，当系统参数k0产生一正向变动时，IS曲线由IS1移动到IS2 ，均衡点由E1变动到E2。

3.动态分析

比较静态学不仅忽略了从旧均衡向新均衡调整的过程，而且也忽略了调整过程中的时间因素。对调整过程的分析属于动态经济学范畴。所谓动态分析，是在引进时间变化序列的基础上，研究不同时点上的变量所起的作用，考察在时间变化过程中均衡状态的实际变化过程。设x*为系统内变量x的均衡解，且x是关于时间的函数x（t）。当时间趋于无穷大时，若收敛于x*，则可称系统是动态稳定的，否则，称为动态不稳定。仍然以上述的市场模型为例。设利率r和产出y都是关于时间的函数，分别为r（t）和y（t）。 图3所描述的是动态过程，当系统参数K0产生一正向变动，IS1曲线移动到IS2，均衡点由E1收敛到E2。

动态分析的局限性在于：第一，其模型一般是按线性方程来构建的。许多情况下，这会损害模型的现实性。第二，模型在微分或差分方程中使用常系数，实际上，这“冻结了”所研究问题的经济环境。但只要动态分析能被适当地应用，它就能发挥重要作用。

三、结语

本文以线性的产品市场和货币市场模型为例阐述了静态、比较静态和动态分析的定义、相互关系及局限性，进一步阐述了数理经济分析框架，使我们加强了对经济学定性的理解。

参考文献：

[1] 王晓军.经济数学方法在经济学中的地位和作用[J].安徽电力职工大学学报，2000，（09）.

[2] ANGEL DE LA FUEUTE.经济数学方法与模型[M].上海:上海财经大学出版社，2003.

[3] 林毅夫.经济学研究方法与中国经济学科发展[J].经济研究，2001，（03）.

[4] 蒋中一.数理经济学的基本方法[M].北京:商务印书馆，1999.

[5] 林毅夫.本土化、规范化、国际化：祝贺创刊40周年[J].经济研究，1995，（10）.

[6] 高鸿业.西方经济学（第四版）[M].北京：中国人民大学出版社，2007.

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