浅谈导函数知识在解决高中函数问题中的应用

摘要：本文主要是围绕着导函数知识在解决高中函数问题中的应用进行讨论，使学生全面了解求导及导函数的知识，并了解求导及求导函数的代数和几何意义，熟练地运用导函数知识，从而增加学生学习数学知识的兴趣，为在高考中取得良好成绩打下坚实的基础。

关键词：导函数 高中数学 求导 函数 应用

本文主要是围绕着求导及导函数知识来进行讨论的。求导和导函数知识是近代数学，特别是高等数学中的重要基础知识之一，甚至可以说数学分析、高等代数、解析几何等高等数学知识体系的建立，最初都是构建在函数的求导和导函数的应用基础上的。因此求导和导函数的知识是现代数学的基础知识，也是今后学习数学知识的基础。通过阅读和学习高中数学教材，我们可以了解到求导及导函数的知识是新加入到高中教材的。将求导和导函数知识加入到高中教材中的目的，一方面是为了扩充高中学生对数学知识的了解，另一方面也是为了高中生以后进入大学学习高等数学提前做好基础知识的了解，所以学好求导和导函数的知识非常重要。

一、求导及导函数的基本定义

导数是指，设函数y=f（x）在点x=x0及其附近有定义，当自变量x在x0处有改变量△x（则函数y相应的有改变量△y=f（x0+△x）-f（x0），这两个改变量的比叫做函数y=f（x）在x0到x0+△x之间的平均变化率[1]。如果函数f（x）在（a，b）中每一点处都可导，则称f（x）在（a，b）上可导，则可建立f（x）的导函数，简称导数，记为f"（x）。

二、求导及导函数知识在求解高中函数问题中的应用

在高中的数学知识体系中，求导和导函数除了作为单独的考点出现外，最大的应用范围应该是在求函数的最大值、最小值和单调区间中。对比于传统的求最大值、最小值和单调区间的方法来说，利用求导和导函数知识求函数的最大值、最小值和单调区间是更为方便快捷的。以往我们在求函数最大值和最小值的过程中，首先是要构造函数，然后寻找特殊点，最后才能确定函数的最小值或是最大值。对求单调区间也是一样，我们需要构造函数，找到函数的波峰和波谷，然后才能找到对应的单调区间。这种方法对于求导和导函数的应用来说比较繁琐，而且容易出现错误。

我們接下来举例说明，利用传统的方法与求导和导函数的方法来解决此类问题的优劣对比。首先在传统的方法中，假设f（x）=x2+2x+5（在实数轴上连续），那么如果我们想求f（x）的最值问题，首先要改造函数，f（x）=x2+2x+5=（x+1）2+4（在实数轴上连续），那么我们可以看出，该函数是有最小值的，函数的最小值点为x=-1，的点，函数的最小值是4。但如果利用求导和导函数的知识来解决该问题，就很方便快捷了。我们通过阅读《数学分析》教材可以了解到，对于连续可导的函数，一阶导数等于零的点为函数的极值点，若二阶导数在该点大于零，则该点为函数的极小值点，若二阶在该点小于零，则该点为函数的极大值点。从直观上来看，f（x）=x2+2x+5（在实数轴上连续），又因为f（x）是初等函数，函数f（x）在实数轴上可导，所以可以求得函数f’（x）=2x+2。2x+2=0，可求得x=-1，x=-1的点是函数的极值点，将x=-1带入原函数可得到，f（-1）=4，又因为f’’（x）=2>0，所以函数的最小值为4。

为了说明两种方式求最值的优势和劣势，这个例子选举的还比较简单，如果利用更为复杂的函数来说，使用求导或者是导函数知识来求极大值和极小值的话，优势会更加明显。我们不妨再举一个例子，f（x）=sinx，x∈（0，2π），求f（x）的最大值和最小值，这个利用构造函数的办法就比较困难。那么让我们来用求导和导函数的知识来求最大值和最小值。f’（x）=cosx=0，（0，2π）。求得x=π/2，x=3π/2，将x=π/2，x=3π/2，带入f（x），求得原函数最大值为1，最小值为-1。由此可见，求导和导函数知识的方法更为简便快捷，当然我们从正弦函数上出发也会验证到我们的做法是正确的。

同样，可以利用求导和导函数的知识来解决函数的单调区间问题，我们还是利用f（x）=x2+2x+5（在实数轴上连续）这个例子来说明，f（x）=x2+2x+5，f’（x）=2x+2，f’’（x）=2>0，所以函数在-1，这一点为极小值点，又因为函数有且仅有这一个极值点，所以该函数的最小值是4。明确极小值点以后，我们就可以用单调函数的定义证明，函数在（-∞，-1）上单调递减，函数在[1，∞），单调递增。同样我们也可以用这种方法确定正弦函数的单调区间。

三、求导和导函数应用的局限性

虽然说求导和导函数知识在解决高中函数问题，特别是就极大值和极小值或者是单调区间而言，优势相对于传统方法来说比较明显，但是并不是每一个题目都可以用求导或者是导函数知识去解决。求导和导函数知识并不万能的，它自身也具有一定的局限性。对于一元函数来说，如果想对原函数求导，就必须保证原函数是连续的，不是连续的函数是无法对其求导数的。通过阅读数学分析教材我们可以了解到，一元函数可微一定可导，一元函数可导一定连续，但是连续的一元函数不一定可导（可微）[2]。所以言简意赅的讲，若想要用求导和导函数解决高中数学中的函数问题，必须保证此函数可导。

四、结语

数学知识体系的逻辑性相当强，如何用好数学知识需要长时间的学习和实践，并且注重积累。只有这样才能够完全的掌握数学知识体系的精髓，在运用数学知识解决问题的时候才能得心应手。

参考文献：

[1]Α.Я.辛钦.数学分析八讲[M].人民邮电出版社，2010.

[2]陈纪修.数学分析[M].高等教育出版社，2006.

（作者简介：刘彦君，沈阳市第二中学，高中学历，研究方向：数学。）

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