数列极限定义的教学思考

摘要：数列极限是数学分析课程中一个重要的概念，它也是学好数学分析的必备知识。本文对数列极限定义的教学方法做了一些分析和思考。

关键词：数学分析；极限；定义；数列

中图分类号：O171 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）28-0093-02

极限是数学分析的基础，是数学分析课程中重要的概念之一，它也是研究微分学和积分学的必备工具。在数列极限的教学中，有很多学生总感到理解数列极限概念很困难，认为ε-N定义中的符号关系复杂，不易理解。本文对数列极限概念的教学过程进行了如下设计。

一、介绍极限发展历史

极限思想的萌芽可以追溯到中国战国时期和古希腊时期，但极限概念首次出现于沃利斯的《无穷算数》中，牛顿在其《自然哲学的数学原理》一书中明确使用了极限这个词并作了阐述。18世纪下半叶，达郎贝尔等人认识到把微积分建立在极限概念的基础之上，微积分才是完善的，柯西最先给出了极限的描述性定义，之后，魏尔斯特拉斯给出了极限的严格定义。

教师通过对极限发展历史的简单介绍，能加强学生对极限概念的感性认识。

二、列举极限相关的例子，为引入极限定义作铺垫

例1[1]：古代哲学家庄周的《庄子·天下篇》引用过一句话：一尺之棰，日取其半，万世不竭。其含义是：一根长为一尺的木棒，每天截下一半，这样的过程可以无限制地进行下去。

分析：把每天截下部分的长度列出如下（单位为尺）：第一天截下■，第二天截下■，……，第n天截下■，……，这样就得到一个数列■。观察易知，数列■的通项■随着n的无限增大而无限地接近于0。

例2[2]：介绍刘徽创立的“割圆术”。

我国古代杰出的数学家刘徽于魏景元四年（公元263年）创立的“割圆术”，他通过借助于圆的一串内接正多边形的周长数列的稳定变化趋势定义了圆的周长。其作法是：首先作圆的内接正六边形，其次平分每个边所对的弧，作圆的内接正十二边形，以下用同样的方法，继续作圆的内接正二十四边形，圆的内接正四十八边形，等等。这样我们就得到了一串·圆的内接正多边形的周长数列：P6，P12，P24，…，P■，…，其中P■通项表示第n次作出的圆的内接正2n-1·6边形的周长。观察，我们知道圆的内接正多边形的边数成倍无限增加时，这一窜圆的圆的内接正多边形的周长数列趋向于某个常数C。于是我们可以将C定义为该圆的周长。

例3：观察数列特征：■，{（-1）n}，■，{3n}。我们发现当n无限增大时，■趋向于1，（-1）n则在-1，+1之间摆动，■也趋向于1，但是3n则趋向于无穷大。

通过对以上三个例题的分析，让学生对数列极限有个初步认识。

三、数列极限定义

定义：设{an}为数列，a为常数。若对任给的正数ε，总存在正整数N，使得当n>N时有|an-a|<ε，则称数列{an}收敛于a，a称为数列{an}的极限，并记作■an=a。若数列数列{an}没有极限，则称{an}不收敛，或称{an}为发散数列。

为了更好地理解极限的定义，我们给出以下注意事项。

注：1.ε的双重性。首先ε具有绝对的任意性，这样就保证了数列{an}无限趋向与a。另外一方面，ε具有相对的固定性，一旦取定ε，我们就可以估算an与a的接近程度。ε的双重性使得数列极限的ε-N定义，既能从近似转化为精确，又能从精确转化为近似，它是掌握极限定义的关键。

2.N的存在性。在极限定义中，重在N的存在性，且N的存在性是与ε相关的。定义中并没有要求N的唯一性，也就是说一旦ε任意给定后，我们只要能够找到满足条件的N即可。

3.极限的几何意义。在平面坐标系中，数列{an}对应于数轴上的一窜点，对于任意的ε，存在正整数N，使得当n>N时，所有点an均在开区间（a-ε，a+ε）内。故至多N个点an在这区间外。

4.收敛与发散的数学符号叙述。

数列{an}收敛？圳？埚a∈R，？坌ε>0，？埚N∈N■，？坌n>N，有|an-a|<ε。

数列{an}发散？圳？坌a∈R，？埚ε■>0，？坌N∈N■，？埚n■>N，有|an■-a|≥ε。

四、例题讲解

例1：证明■■=1。

证明：？坌ε>0，要使不等式■-1=■<ε成立，只需n>■-2。于是取N=■-2，从而？坌ε>0，？埚N=■-2∈N+，使得？坌n>N，有■-1<ε，即■■=1。

例2：证明■■=■。

证明：限定n>7，从而n3-3>0，要使不等式

■-■=■<■<■<ε

成立，只需n>■。取N=max■，7。于是？坌ε>0，？埚N=max■，7∈N+，使得？坌n>N，有■-■<ε，即■■=■。

通过上面两个例题的详细讲解，总结出求数列极限的一般步骤，并强调证明数列极限过程重在寻找合适的，我们可以采取“限定”和“放大”的方法来寻找N。然后再讲解几个求数列极限的证明题，照总结的证明步骤，一步一步证明，以此加深学生对知识的理解。最后在学生对证明数列极限方法有了一定的熟练后，再举两个证明数列发散的题目。通过严格的分析证明，结出证明数列发散的一般步骤，对比证明数列收敛的步骤，找出他们各自的证明难点，从而加深对数列极限的理解。

五、总结知识，布置作业

教师要带领学生回顾数列极限的定义及其理解的难点，理清证明数列收敛和发散的一般步骤，让学生做到心中有数。最后，教师布置几个证明数列极限收敛和发散的作业，以此来考察学生对知识的掌握程度及其遇到的问题。

参考文献：

[1]华东师范大学数学系.数学分析[M].北京：高等教育出版社，2001.

[2]刘玉琏，傅沛仁，等.数学分析讲义[M].北京：高等教育出版社，2003.

作者简介：蔡钢（1984-），男，重庆巴南区人，讲师，博士生，主要从事泛函分析研究。

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